数学模型思想在小学数学教学中的应用研究
题目：数学模型思想在小学数学教学中的应用研究
姓名:张梦肖
单 位:石家庄市鹿泉区获鹿镇五六街小学
数学模型思想在小学数学教学中的应用研究
摘要
本研究在前人研究的基础上，立足于人教版小学数学12册书，对书中有关于模型思想的内容进行了整理,笔者研究并分析了12册教材中模型思想在数学各个板块中的呈现，对它们进行了分类整理，并提取了其中一部分较为典型的案例，对于这部分案例作了分析和整理。随后笔者分析了小学生学习数学模型思想的可行性，提出了几条由针对性的应用“模型思想”措施：备课时，挖掘数学模型思想；上课时，掌握数学模型思想：在导入创设情境教学时，感知数学模型思想；在概念理解时，构建数学模型；在探究合作中，体验数学模型思想； 在问题解决中，应用数学模型思想。
关键词：小学数学模型思想 小学数学模型 模型方法 教学策略
目 录
一、引言
《数学课程标准》指出：“数学教学应该从学生已有生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并理解运用。”可见数学模型思想在数学教学中作用。本文的模型思想，是一种数学的思考方法，是利用数学语言、符号、式子或图象模拟现实的模型。然而在实习中发现，教师教学数学知识，但不知道其中隐藏着什么模型思想；即便有些教师能知道一些数学模型思想，但不知用什么方法进行教学；或者教学效果不好；就更不用说小学生对数学模型思想的掌握。因此可以说小学老师对数学模型思想的应用还不是很广泛，所以笔者决定研究这一问题，为小学教师提供应用模型思想的理论基础，解决小学生在生活中遇到的问题。
通过对现有的文献进行研究和分析，为小学数学教学应用模型思想提供更多的理论依据。在小学数学教学中的数学模型，完善了理论知识。同时为小学数学教师在教学中应用数学模型思想提供了依据；可以说应用数学模型思想的教学可以更好地帮助小学生解决在生活中遇到的问题。
正确界定论文的相关概念，有利于论文的研究，有利于教师在教学中正确把握“数学模型、方法”概念的本质，及时正确在教学中渗透“数学模型思想”。
模型指通过主观意识借助实体或者虚拟表现、构成客观阐述形态、结构的一种表达目的的陈述；数学模型是定量关系的方式化描述，是模仿理想问题的模型。
模型思想是指，数学化的抽象与简化具体问题情境，建立数学模型，并利用此模型解决相关类似问题的意识与观念。模型方法是模型思想的实践体现，模型思想是模型方法是的理论升华，因此教学中称为“模型思想方法”。
小学数学模型思想是用数学语言抽象出现实问题的模型，从而让学生理解数学与外部世界联系的基本途径，小学生通过这一思想来联系数学理论和现实生活，形成的一种特定的思维方式。小学数学模型方法就是从简单的生活情景中提炼出有关于数学知识的问题，探究其包含的规律，解答基本的现实数学问题的方法。
张静[1]研究发现三个版本教材对于方程的模型思想各个都有所体现。于莉[2]说道数学基本思想之一是数学模型思想，数学教学理念转化为数学模型，不仅可以提升学生的数学知识结构，还可以引导学生发展自己的思维。袁甜[3]研究表达了小学数学模型思想贯穿于其他九大核心概念之中，更横跨小学数学的基础知识体系之上， 有效渗透数学模型思想，不但提高数学教学的效率，而且使教师和学生发展了新的数学思想。冯昊[4]指出建立数学模型是一种有效的方法来解决数学问题。
孔凡哲[5]指出学习数学的客观认识和入手操作之间建立起联络，模型思想是学生学习理论问题的关键。李占元[6]中指出所谓的模型的思想，主要是指通过数学教学与现实生活中的数学理论的有效性探索的理论知识之间的对应关系，同时数学概念及其基本性质，如教材知识转化为有效的数学模型，来应付生活中的问题。杨廷霞[7]数学模型思想是用指构造问题的数学模型求解数学模型以解决实际问题。
杨承军[8]认为模型应该存在于理想生活，数学模型能够用来处理一些简单的生活实际问题。生活中不是数学的问题能够有意地运用数学模型思想处理。周燕[9]研究认为，小学数学教学中应用数学模型思想可以使小学生更喜欢学习数学，在平常的生活中用到自己学习到的数学知识。
刘勋达[10]除理论建构外，还从现实生活中探索小学数学模型的过程模式和发展策略，当前小学数学教师的教学提供方法论的指导。聂勇[11]分享的教学经历，从教学时情境的创设、对于数学模型的认识、在教学活动过程中构建数学模型，然后联络生活，应用数学模型等维度讨论模型思想在小学数学教学中的方法策略。
对于以上的文献分析，有的是对于模型思想的分析，有的是对于渗透模型思想的意义的研究，所以针对数学模型思想在小学数学教学中的应用研究还不是很多，这样研究者对数学模型思想在小学数学教学应用研究有了更大兴趣。
利用图书馆、中国知网的信息资源，分析已有研究成果，借鉴成果及经验。
通过学校实习和互联网观看相关的公开课，对自己随堂记录的教学案例进行整理和分析。
（一） 小学生的思维发展的特点
小学低年级的学生和中高年级的学生思维发展不同，对学习不同的知识思维的转变也不一样。低年级的小学生的思维方式比较简单，他们以形象思维为主，但是到了中高年级的小学生，他们的思维方式开始渐渐的往深层次的理解，开始抽象思维的显现。
例如小学生在学习算术时，他们的思维就是抽象的思维，而且水平较高。如果没有集体问题情境和实物的辅助作用，学生在学习分数和分数的运算时会感到很吃力。所以我们在渗透模型思想时，要注意小学生思维发展的差异性。
低年级的小学生对于直观的具体的事物感知觉较为明显，随着年龄的增长，不仅对于具体的事物有了很强的感觉，对于一些符号语言的感觉也更为强烈。中高年级的学生一般可以发现表象的事物跟抽象的事物之间所存在的联系，可以直接感知到事物之间的联系，而低年级学生的感知觉还缺乏精确性和深刻性。
小学生的记忆一般比较不稳定，他们对自己感兴趣的事情一般很容易就可以记住，当他们反复感知同一个东西时，这个形象在他们的脑海中就反复出现，进而他们对这一个东西印象比较深刻。所以我们可以通过外在手段的辅助作用来帮助小学生记忆。
小学生的认知规律是非常直接的，在对大量案例的感知学生，建立明确的外观，逐步实现运行规律，因此，在教学中，结合学生的认知水平和发展，向学生传授科学知识。
我们知道，一名学生对于自己所学知识产生的兴趣越大，数学学习的动力就越大，但对数学学习产生影响的因素包括学习压力，学习对象、难易程度，及适当的学习压力、成就感、自信与意志等等，都对数学学习有着很大的影响。所以数学教学要引起学生的兴趣才能得到更好的效率。而数学的学习效率一般和自己在实际生活中所亲身经验有直接关系，所以数学教学应该联系学生的学习经验。
小学生的数学学习有较强的直观性，他们对于直接看到的和自己动手操作的教学内容更容易被接受。正因为这样，数学教材中为学生提供了大量的实际生活案例，尤其是加强学生的动手操作能力，这样便于学生更好的理解和掌握。
表1 “数与代数”中常见的数学模型统计表
数学知识 | 数学模型 | 教材分布 |
数的运算 |
| 一年级:数一数；15的认识和加减法；10的认识和加减法；20以内的进位加法； 二年级：20以内的退位减法；100以内的加法和减法 100以内的加法和减法；解决问题；万以内的加法和减法(一〕 三年级上册:2.万以内的加法和减法(二) 四年级下册:4.小数的加法和减法 五年级下册:分数的加法和减法 |
| ||
3.乘法模型 | 二年级:表内乘法；；表内除法； | |
4.除法模型 | 三年级上册:有余数的除法；多位数乘一位数；除数是一位数的除法；两位数乘两位数. 四年级上册:3.三位数乘两位数；除数是两位数的除法 五年级上册:1.小数乘法；2.小数除法 六年级上册:2.分数乘法；3.分数除法 | |
5.四则混合运算模型 | 四年级下册:1.四则运算 | |
6.运算定律模型 | 四年级下册:运算定律与简便计算 | |
式与方程 | 方程模型 | 五年级上册:4.简易方程 |
数量关系 | 1.路程模型 | 四年级上册:3.三位数乘两位数 六年级:百分数；比例 |
2.总价模型 | 二年级上册:4.表内乘法(一) | |
3.合格率模型 | 六年级上册:5百分数
| |
4.利息模型 | ||
5.税收模型 | ||
6.比例模型 | 六年级下册:3.比例 | |
常见的量 | 1.长度单位 | 二年级上册:1.长度单位 三年级上册:1.测量 |
2.质量单位: | 二年级下册:6.克与千克 三年级上册:1.测量 | |
3.面积单位 | 三年级下册:6.面积 | |
4.体积单位(容积单位) | 五年级下册:3.长方体和正方体 |
（1）《一元一次方程》教学案例
一、教学目标
（一）学会解“
”一元一次方程。
（二）可以应用一元一次方程。
二、教学重难点：一元一次方程的解法；
三、教学过程
（一）课前复习，导入新课
提问：什么是一元一次方程?它的定义是什么？
提问：判断是否是一元一次方程？
提问：列好方程之后，未知数要怎么解呢？
例题分析，讲授新课
1.那我们首先来看例题1，四（3）班的班主任要去给文具店给全校学生买奖品，计划买210件奖品，包括课外书、钢笔和橡皮，买钢笔的数量是橡皮的两倍，买橡皮的数量是课外书的4倍。问老师买了多少橡皮？
提问：我们做应用题时第一步要干什么呢？
提问：那么我们要怎样设未知数呢？
提问：那我们可以从题目里面可以表示出那些关系呢？
提问：还没有差不多的关系式呢？
提问：那可以怎么表示呢？
提问：那老师一共买了210件奖品？我们可以怎么样列式？
合并同类项得到
化为系数1得
。
提问：下面几个题有谁会做？（由同学写出答案）
（1）
（2）
（老师找同学回答完后，一起和同学们在黑板上演示计算过程。）
例2：一（3）班的老师给小朋友们发奖品，如果每人发4件奖品，还剩30件奖品，如果每人发5件奖品，则还少35件奖品，问老师一共有多少件奖品？
提问：同学们，我们做这道题的第一步是什么呢？
提问：我们应该怎么样设未知数呢？题中有一个什么样的等式呢？
提问：那我们看题中有哪些关系式呢？还有哪一个呢？可以怎样表示？根据题目我们可以得到一个什么样的关系式呢？
移项：
合并同类项：
系数化1：
。
（三）巩固知识，应用练习
1. 
2. 
（找同学上去回答，写出过程。）
提问：不错，在解方程的过程中通过“移项”再“合并同类项”，这些化简的作用，从而把方程化为了
的形式，使其更接近
的形式。现在同学们认真复习上面的解题过程，动手算一算。
课程总结：
在解一个一元一次方程时，首先要设未知数，再列相关等式，移项，再合并同类项，再解出未知数！最后检验答案是否正确。
（案例来源：保定市沈庄小学五年级二班数学课教学设计。）
（2）案例分析：
在这个案例中首先老师通过温习引入一元一次方程的概念，然后通过例子引导学生一元一次方程怎么解，一步步带着学生解方程，使得学生充分理解了方程这一数学模型的形成过程。通过讲练结合的方式，新学的知识得到了巩固，更充分的理解了方程这一数学模型，更可以在实际生活中应用到方程的模型思想。
表2 “图形与几何”中常见的数学模型统计表
数学知识 | 数学模型 | 教材分布 |
测量 | 1.长度与周长模型 | 一年级上册:2.比一比 二年级上册:3.四边形 |
2.面积模型 | 三年级下册:6.面积 五年级上册:5.多边形的面积 六年级上册:4.圆 | |
3.体积模型 | 五年级下册:3.长方体和正方体 六年级下册:圆柱与圆锥 | |
图形的位置 | 1.图形的缩放 | 六年级下册：3.比例 |
2.位置模型 | 六年级下册：1.位置 |
2.案例及分析
（1）《圆的面积》教学案例
1、教学目标
（一）掌握圆的面积的推导过程，掌握圆的面积的计算方法。
（二）通过这节课的学习可以熟练的用圆的面积公式解决生活中的问题。
（三）学生分析推理概括的能力得以提升，感受圆的数学模型思想。
二、教学重点：掌握圆的面积公式
三、教学难点：圆的面积的推导过程。
四、教具准备：课件；圆形纸片。
五、教学过程
（一）创设情境，引入新课
一只羊被绑在草地的一个大树上，问这只羊能吃到多么大面积的草地？你可以画这只羊的活动范围吗？（黑板演示。）
提问：大家看看这位同学在黑板上画的图，表示的是什么呢？
（二）探究活动，解决问题
1.拿出准备的原片，先估量这个圆的面积有多大，拿边长为直径大小的正方形，与这个圆重合相比较。发现这一正方形的面积比圆片的面积大。由此发现圆的面积无法直接丈量。
2.在求其他平面图形面积时，我们通常采用割补法和拼接法来将一个平面图形转化为我们熟悉的图形。今天学习的圆的面积能不能用类似的办法呢？
3.动手操作，探究新知。
我们把一个已经均等分为16份的圆拼拼剪剪，观察可以拼出一个什么样的图形？它和原来的图形有什么联系？
- 小组汇报，把圆转变成了什么图形。（课件展示）
提问：如果把圆分成32份呢？会出现什么情况？分成64份呢？128份呢？发现了什么？（找学生回答：像一个平行四边形。）
我们发现分的份数越多，拼成的图形就越接近于平行四边形，份数无限多时，拼出来会是一个长方形。
提问：同学们发现的拼接出来的平行四边形的底相当于圆的哪一部分？
- 可以通过平行四边形的面积公式推导出圆的面积公式吗？小组内讨论一下，找小组代表来黑板上演示。
- 教师总结圆的面积公式：
（课件演示。）
（3）巩固新知，应用实践
- 现在我们知道了栓小羊的绳长5米，求小羊可以吃到的草地面积？
- 一个圆形舞台的周长是50米，这个圆形舞台的面积是多少？
（四）课堂小结，布置作业
说一说这节课我们学到了什么新知识？课本习题完成。
（案例来源：保定市沈庄小学六年级一班数学课《圆的面积》教学设计。）
（2）案例分析:
在这一案例中，教师首先出示了一个羊吃草的情景，引导出圆的面积，然后通过“类比”来推导圆的面积。从而学生自主探究圆的面积跟其他图形面积的联系，建立起圆的面积数学模型，利用建立起来的面积数学模型思想模型解决舞台面积等现实生活中的问题，加强对数学模型应用巩固。
表3 “统计与概率”中常见的数学模型统计表
数学知识 | 数学模型 | 教材分布 |
数据的收集与统计 | 统计量：平均数、众数、中位数 | 三年级下册:3.统计(平均数) 五年级上册:6.统计与可能性(中位数) 五年级下册:6.统计(众数) |
概率 | 概率模型 | 五年级上册:6.统计与可能性 六年级下册:4.统计 |
（1）《平均数》教学案例
一、教学目标:
（一）理解平均数意义
（二）利用平均数解决实际问题。
（三）运用自己学过的知识应用到实例中，体会到其中的乐趣
二、教学难点:应用平均数。
三、教学准备：课件
四、教学过程:
（一）创设情境，引入新知
1.老师现在请同学到黑板上摆上两行五角星，要求是第一行有9个五角星，第二行有5个五角星。
2.现在老师再请2位同学上来，看看能不把这两行的五角星摆成一样多的？
3.学生思考，想象移的过程；教师操作引导：现在每排都有7个，7是这组数的什么数？ 像这样把几个不同的数，通过“移多补少”、“先求和再平分”的方法，得到相同的数，就是这几个数的平均数。
那我们现在大致了解了“平均数”，下面我们就来研究一下这个新名词。
（2）合作探究，深化理解
1．操作：在黑板上用五角星摆：第一行放8个五角星，第二行放4 个五角星，第三行放3个五角星，注意摆的时候，要一一对应地摆齐。
2．学生合作探究：平均每排有多少个五角星？你是怎样想的？
3．交流汇报
（1）移多补少：只要从8 个中拿1个放到第二行的4个中，拿2个放到第三行的3个中，它们就一样多了，所以这三行五角星的平均数是5。
（2）先求和再算平均数：一共多少个五角星？在除以3得到五角星的平均数。
4.例1：五一假期到了，学校放3天假，小丽计划平均每天做6道练习题，她第一天做4道练习题，第二天做8道练习题，那第三天小丽做几道练习题才会完成她的计划？
提问：6这个数是什么？（平均数）
提问：怎么样来算第三天小丽要做几道题？
提问：如果她计划平均每天做8道题呢？这个8和第二天的8表达的意思一样吗？
提问：现在同学们知道平均数是什么意思了吗？
（归纳平均数的含义。）
（3）巩固应用
- 期末数学考试，小明考了99分，小红考了88分，欢欢和乐乐都考了93分。这四位同学的平均得分是多少？
- （1）保定市第二小学的老师平均年龄是40岁，那么李老师一定是40岁。
（2）保定市第二小学全体师生向红十字会捐款，平均每人捐款6元。李四同学不可能捐7元。
（四）课堂小结:
什么是平均数?有何作用?如何计算一组数据的平均数?
（案例来源：保定市沈庄小学三年级二班数学课《平均数》教学设计。）
（2）案例分析:
在这个教学案例中，老师首先创设情景，让同学们感受数的变化，接着一步步引导学生把五角星分成一样多的，学生总结交流的平均数的计算方法，在这一过程中，初步感受了“平均数的数学模型思想”。平均数的学习对数据的整理和分析起到了重要的作用。学生通过与原来知识的联系，深入的明白了平均数这一概念和意义，并且熟练地应用平均数的这一数学模型。
表4 “综合与实践”中常见的数学模型统计图表
数学知识 | 数学模型 | 教材分布 |
握手问题 | 人数为n，每两人握一次 手，握手总次数: N=1+2+3+.....(n-1) | 二年级上册:8.数学广角 三年级上册:9.数学广角 |
服装搭配问题 | 上衣m件，下装n件，搭 配方式:N=m × n | |
抽屉原理问题 | “商+1”模型 | 六年级下册:5.数学广角
|
合理安排时间问题 | 对策论(最优化)模型 | |
烙饼问题 | 饼m张，锅n个，烙熟一 面要时间a，总时间=2m÷n×a | 四年级上册:7.数学广角 五年级下册:7.数学广角 |
植树问题 | 单边植树(两端都植) 单边植树(只植一端) 单边植树(两端都不植) 双边植树(两端都植) 双边植树(只植一端) 双边植树(两端都不植) | 四年级下册:8.数学广角
|
鸡兔同笼问题 | (总脚数－总头数×鸡的脚数) ÷(兔的脚－鸡的脚数)=兔的只数 总脚数÷2－总头数=兔的只数 总只数－兔的只数=鸡的只数 | 六年级上册:7.数学广角
|
2. 案例及分析
（1）《抽屉原理》教学案例
一、教学目标:
（一）用抽屉原理解决简单的实际问题。渗透“建模”思想
（二）体验抽屉原理的探究过程。
（三）通过学习过程，感受数学的魅力
二、教学重难点:探究发现并总结应用抽屉原理。
三、教学过程:
（一）游戏导入
讲台上有5把椅子，6个同学玩抢凳子的游戏。
（2）探究发现规律
- 探究过程，理解原理。
提问：把4个橡皮放进3个文具盒里，该怎样放？有几种放法？
分组操作：组内操作并记录。（老师在黑板上归纳。）
提问：观察黑板上所以的记录，这里一共有多少种放的方法？（板书：一个文具盒里至少有一个橡皮。）
提问：照这样想，5个橡皮放到4个文具盒里，大家可以怎样放？我们来动手操作一下，看看有什么规律。（操作并记录，老师同时在黑板上记录。）
提问：看看我们所有的摆法，“总有”表示什么？“至少”又表示什么？
提问：下面我们把6个橡皮放在5个文具盒里，我们现在猜猜看，会有多少种摆法？然后你们摆摆，验证一下自己的猜想.
提问：你们的猜想对吗？提示同学们用平均数的方法算，不要一个一个摆了。并列式表示结果。
提问：根据我们前面的算法，现在我们知道把8个橡皮放到7个文具盒里，有多少种放法，把100个橡皮放在99个文具盒里呢？你可以发现什么规律？
我们发现了橡皮的个数比文具盒的个数多1，总会有一个文具盒里有两个橡皮。那如果橡皮比文具盒多2个或者多3个，有什么规律呢？
研究橡皮比文具盒多2、多3的情况。
提问：如果把6个橡皮放在4个文具盒里，有几种放法？
引导：先用平均数分橡皮，每个文具盒里分一个橡皮，剩下的2个橡皮应该怎么分？
提问：把7个橡皮放在4个文具盒里，有几种放法？先放多少？然后呢？
提问：把9个橡皮放在5个文具盒里，会出现什么情况？把16个放7个呢？
2.总结规律
提问：我们将橡皮看作一件物品、把文具盒看做抽屉，你发现了什么规律？
总结抽屉原理的“商+1”模型。
3.介绍抽屉原理
（3）应用“抽屉原理”
- 把6个苹果放进5个抽屉中，怎么放都可以，总有一个抽屉中至少有（ ）个苹果，为什么？（说原理）
2.把8个足球放到6个储物箱里，可以怎样放？
（四）课堂小结
你能说说什么是抽屉原理吗?
（案例来源：百度文库《抽屉原理》教学设计。）
（2）案例分析:
在这一教学案例中，在一开始设计一个游戏导入，一是吸引孩子们兴趣，二是通过后来的情景创设建立起这一数学模型，展示给学生这可以应用到实际例子中去。一步步提问引导学生发现规律，感受抽屉模型原理。首先一个先比一个多1、再多2、多3，渐渐发现其中蕴含的数学原理和思想，最后老师和同学一起总结抽屉原理的含义，出示练习应用抽屉原理这一数学模型。
（1）备课时，挖掘数学模型思想
既然数学模型思想是对现实问题的抽象思考，所以教师在备课时，为了适应小学生数学学习的特点，首先要对教材中的概念、法则及习题都熟悉。还要从模型思想的角度作认真的分析，弄清楚哪些知识体现了哪些数学模型思想，找到实际生活中类似的实际例子授课。
例如：小学数学教师加强 “前面已经梳理过的小学数学四大版块内容中包含的数学模型思想”的学习，掌握每个教学内容对应的数学模型思想。
这样教师爱备好一堂课时，通过查阅相关资料，掌握每个教学内容对应的数学模型思想，才能在教学中引导学生们解决数学问题，建立数学模型思想。
（2）上课时，渗透数学模型思想
在从课程导入时，首先要创设一个跟这一数学模型有关的实际生活中的例子。通过实际生活中的例子，分析总结出数学问题，学生从这一问题中先初步感受这一问题所蕴含的数学模型，为下面认识理解这一数学模型作铺垫。
案例：《正方形的周长》教学案例
情景导入，老奶奶在一块正方形的菜地上种了许多菠菜，但是老奶奶害怕有动物来破坏她种的菜，你们可以帮老奶奶想想办法吗？
提问：同学们都有什么方法帮助老奶奶？（同学们都说要买篱笆围上。）
提问:要买多少米才刚好围上呢？
追问：这个我们可以怎么样来算呢？
......
在这一教学案例中，老师首先出示问题情境导入，老师引导让同学们感知长方形菜地围栏的大小就是正方形周长这一数学模型，为接下来学习长方形的周长公式作铺垫。
概念就是对一个事物的定义，学习概念的过程就是学生学习这一事物是什么的理解过程。在这一过程中，学生建立起对这一事物的数学模型。
（1）利用表象，构建数学模型
由于小学生的思维是直观的，而数学知识大多是抽象的，要求教师在教学中要注意把抽象的知识转化为感性材料，从而内化成表象，所以在教学中情境创设的内容应该让学生自己动手操作探究，构建数学模型，更容易理解表达的数学模型。
案例：《平均数》应用题的讲解
问题：小明有一天从学校的器材室拿回来12个同样大小的足球，我们把这堆足球分成三堆，一堆2个，一堆4个，一堆6个。
提问：每堆一样多吗？
提问：谁能把它们分成3堆一样多的？（找同学上台演示过程。）
老师再次展示过程，找同学说出“平均数”的概念。然后跟原来摆放的方式相比较。
......
在这个案例中，老师通过让学生感受足球的变化从而来理解“平均分”的意义，在学生动手操作和老师复述的过程中，学生感受到了分成一样就是平均数的概念，更好的理解了平均数，平均数的数学模型思想在学生的脑海中逐渐形成。
（2）利用列表、图形、图像展示问题，构建数学模型
我们知道（1）列表法是探索问题答案的有效途径， (2)图形法是分析几何关系的直观工具，(3)图像法是发现数量关系的基木手段，它们有利于学生理解问题的情境，探究问题中隐含的数学关系。因此在确立符号模型的过程中需要发挥其他表征方式的辅助作用。
案例：《百数表》的观察与分析
师:上节课我们已经认识了100以内的数。（就此呈现100个排列不规则的数字），读一读。
师：同学们有没有感觉这样排列太乱了，那我们让他们排好队。
师：下面我们找出个位是4的数字。
师：大家找的都非常正确，那你能发现什么规律呢？
师：同学们都说的很好，那大家现在找一下十位数是5的数字，然后说说你发现了什么规律？
师：很好，接下来我们找一下个位数和十位数都是一样的数字，并在自己的百数表中用彩笔涂上。说说有什么规律。
师:我们发现了百数表看着让我们很舒服，这是为什么呢？因为它们无论什么方向排列都是有顺序的。
......
在这个教学案例中，教师首先出示不规则的百数表和规则的百数表展示问题，老师接着引导同学们在这个表中发现不同的规律，同学们也可以更好的理解这个表的规律和100以内数的大小排列。从而让同学们在问题变化中构建了“100以内数的大小”的模型，从而更好地理解数的大小排列，为学习多位数加减法打下基础。
（3）利用实物教具凸显问题本质，构建数学模型
实物教具可以直接展示这个问题所要表达的，学生可以直接看出来。因此，在教学资源充足的情况下，教师应尽量使用多种教学工具辅助构建数学模型。
案例：《分数的乘法》
方格纸是人教版小学数学教材中的常用教学工具，它适用于分数、小数、位置、几何图形面积、正反比例关系等多个知识领域。小学六年级上册在学习分数的乘法时借助了方格纸的用法。
一个建筑工人刷墙，他刷墙的五分之一要用1小时，那么他用四分之一小时可以刷多大面积的墙面？
教师利用方格纸让同学们直观的理解了分数的整体与部分，直观地展现出了分数乘以分数之后所得出的结果，更好的理解了“分数乘法的意义”的模型。
（1）在合作学习中，总结数学模型思想
合作学习不仅包括学生之间的合作，也包括教师与学生之间的合作。合作学习是提高教学效果的重要途径，所以依托学生个体常常不能完成对复杂数学问题的剖析，而采用合作学习的方式就可以大大进步问题处理的效率。
案例：《圆柱体的侧面积》教学案例
导入：拿出准备好的圆柱体，问如果把这一圆柱侧面围上包装纸，需多大的纸？我们应该怎么样去求？
提问：为什么剪高展开就是包装纸的面积？ 追问：你是怎么知道底面周长乘高就是曲面的面积？
在方才讨论的根底上，学生开端入手剪开曲面，并展现学生的作品。（学生回答，老师示范。）
让同学们观察侧面展开图，提问：长方形的长、宽分别与圆柱的哪些量有关系？面积有什么关系？
提问：谁知道答案？（学生回答并操作。）
提问：谁可以再给同学们展示一遍，一边说一边操作。
提问：我们现在知道了他们之间的联系，那圆柱体的侧面积公式怎么表示？
提问：是不是每次都要把侧面积展开？（同学交流后，找同学回答。）
在这个教学案例中，首先从具体的情景入手，引起学生兴趣。教师引导，学生合作讨论，在这一合作过程中，各个同学随着组内成员的思路，可以更好的理解这个问题情境所表达的“圆柱特征”的模型思想。
（2）在探究活动中，理解数学模型思想
由于小学生的数学学习特点，小学数学教学必须创设教学活动，使小学生在探求活动理解数学模型思想。所以作为一名小学教员，要擅长引导学生自主探求、协作交流，对学习过程主动归结，找出隐含的数学模型，体会学问中细致的数学模型思想。
案例：用数学解决问题教学案例
呈现课本情境中散落的珠子图，提问：你们能把这些珠子穿成串吗？要先了解什么？你有几种方法来解决？（小组相互交流讨论。）
同学们，汇报交流谈论情况，大概有三种不同的方法来解决。
各个小组向同学们演示本小组的方法，提示各个小组学生用自己喜欢的方法解决问题。（提醒学生可以借助小棒进行操作。）
……
整个过程中学生的讨论，探究出了3种不同的方法来解决这个问题，在这一过程中小学生充分的感受和理解了“加法的模型”，体会到了其中的数学模型思想。
（1）紧密联系生活，熟练应用模型思想
《新课程标准（2011修改版）》增加了“数学活动经验”这一教学理论，这使着小学数学教学过程要紧密联系学生生活，从而在活动中掌握数学知识，体会数学知识背后隐藏的数学思想，便于小学生可以利用自己所学习到的数学模型思想解决我们在实际生活中所遇到的实际问题。
案例：植树问题的应用题练习
为了城市的环境，政府决定在全长1000米道路的一边安装路灯，每间隔20米安装路灯，道路的两端都要安装上。一共要安装多少个路灯？
提问：我们读完题之后可以了解到哪些信息？“一边”和“两端”什么意思？
提问：说一说你是怎么样算的？（找同学黑板演示过程。）
提问：谁可以说说我们原来讲过的植树问题的规律是什么？（多名同学说规律。）
提问：我们生活中遇到的类似的例子有哪些？（学生答，植树问题、相邻车站的路线问题等。）
……
这个安装路灯的“植树问题”的练习，帮助同学们明白了这一数学模型。在实际生活中更加熟练的应用这一数学模型，完善自己的模型思想。
（2）积极思考，养成建模思维
在学生理解应用了多个模型思想后，在他们的知识结构中就有了自己的思路。再遇到类似的问题时，教师要提醒他们多思考，想想看这个问题中蕴含着哪个数学模型思想，久而久之，小学生就会形成一种习惯，养成建模的思维。
案例：《圆锥的体积》教学片断
提问：我们已知道了哪些立体图形体积的求法？
提问：我们用什么办法算出圆柱的体积的公式？
提问：我们今天研究圆锥的体积，我们可以把它和哪个立体图形联系到一块呢？
提问：大家觉得这个圆锥与哪一个圆柱是好朋友呢？你为什么这样认为？
（学生指出的圆柱与圆锥的底与高是一样的）
圆锥的体积和圆柱的体积之间存在什么联系呢？
……
在这一教学片断中，老师通过已学过的圆柱的体积模型，引导学生思考圆锥体积与圆柱体积之间的关系，学生自然而然就圆柱体积模型思考圆锥的体积模型，培养了学生的建模思维。
笔者通过阅读相关文献资料，并且对小学阶段关于模型思想的呈现进行了整理和归纳，还分析了小学生思维发展的特点。归纳并总结了数学模型思想在小学数学教学中的应用策略，为奋战在教育第一线的园丁们提供了借鉴。
由于笔者的实践经验不足和时间关系，并没有全部了解到老师们在小学数学模型思想的教学中是否还有别的更好的办法去讲解给孩子们。另一方面是笔者对于数学模型思想也没有彻底的理解和应用，虽然阅读了大量文献但是理论知识还是不够完善。所以今后笔者也会投入更多的精力来研究数学模型思想在小学数学教学中的应用研究。
[1] 周燕.小学数学教学中数学模型思想的融入[D]. 上海师范大学, 2013.
[2] 于莉. 基于模型思想的初中方程教学设计研究[D]. 重庆师范大学, 2013.
[3] 杨承军.义务教育阶段渗透数学模型思想的意义与策略探究[J]. 教育评论, 2014(4):119-121.
[4] 冯昊.小学数学教学中数学模型思想的融入[J]. 读与写(教育教学刊), 2014(9):232-232.
[5] 李宪勇.小学数学问题解决教学的问题与对策研究[D]. 西藏大学, 2011.
[6] 刘明祥.在小学数学教学中培养学生模型思想的探讨[J]. 教育探索, 2013(9):54-55.
[7] 张静.方程思想的小学数学教科书呈现研究[D]. 东北师范大学, 2014.
[8] 邹安碧. 小学数学教学生活化探析[J]. 贵州教育, 2007(16):37-38.
[9] 李占元. 小学数学教学中应如何培养学生的模型思想分析[J]. 文理导航(下旬),2016,09:29.
[10] 薛文旅. 小学数学《方程》单元教学中渗透模型思想的研究[D].南京师范大学,2015.
[11] 刘勋达. 小学数学模型思想及培养策略研究[D].华中师范大学,2013.
[12] 李树臣. 渗透数学模型思想的基本途径[J]. 中学数学杂志,2012,10:7-11.
[13] 孔凡哲. 有关模型思想若干问题的分析与解读[J]. 中学数学教学参考,2015,Z2:4-7.
[14] 黄荣德. 模型思想:内涵、价值及教学策略[J]. 江苏教育研究,2015,Z4:73-76.
[15] 周立栋. 数学模型思想及其渗透教学[J]. 上海教育科研,2015,10:64-66.
[1]张静. 方程思想的小学数学教科书呈现研究[D].东北师范大学,2013.
[2]于莉. 基于模型思想的初中方程教学设计研究[D].重庆师范大学,2013.
[3]袁甜. 关于“小学数学模型思想在教学中渗透”的几点思考[G].广西师范学院,2016
[4]冯昊. 小学数学教学中数学模型思想的融入[C].读与写杂志.2014.09.
[5]孔凡哲. 有关模型思想若干问题的分析与解读[J]. 中学数学教学参考,2015,Z2:4-7.
[6]李占元. 小学数学教学中应如何培养学生的模型思想分析[J]. 文理导航(下旬),2016,09:29.
[7]杨庭霞. 数学模型思想在小学数学教学中的应用探讨[J].治学之法.2014.06.
[8]杨承军. 义务教育阶段渗透数学模型思想的意义与策略探究[J]. 教育评论,2014,04:117-119.
[9]周燕. 小学数学教学中数学模型思想的融入[D].上海师范大学,2013.
[10]刘勋达. 小学数学模型思想及培养策略研究[D].华中师范大学,2013.
|
|
|
|
|
