浅议如何在教学中让学生认清数学的本质（数学）
浅议如何在教学中让学生认清数学的本质（数学）
河北省石家庄市鹿泉区第一中学 康彦朋 李彩萍
关键词：数学本质 转变观念 基本概念公式 一题多解 整合专题
立德树人，是教育的根本任务，在《普通高中课程标准(2017年版)不仅强调了数学教育承载着立德树人的育人功能，并对这一育人功能做了进一步表述，其中有一条为“数学教育帮助学生掌握现代生活和进一步学习所需的数学知识、技能、思想和方法,提升学生的数学素养,引导学生会用数学眼光观察世界、会用数学思维思考世界、会用数学语言表达世界”。所以在教学中我们要把握数学本质，为进一步学习奠定基础，培养学生的数学思维。
下面从以下几个方面谈一下如何通过数学教学培养学生的数学思维
(一) 老师要转变观念,我们要沉得住气，静下心来，抵御教育功利化的诱惑。尤其是新授课我们要把知识的来龙去脉,知识的基本概念、公式的结构特点等要分析透彻,“磨刀不误砍柴功”只有这样学生在以后的学习中，才能事半功倍减少失误,只有认清知识本质才能避免题海战术,减轻学生负担,为学生长远发展提供条件。题型模仿、类型强化、技能操练固然需要在教学中去做，但如果这些措施离开了数学本质的认识，也只能是教学中的低效或无效行为。学生理解知识本质才能以不变应万变,举一反三，融会贯通。
(二) 在教学中对数学基本概念、公式结构特点要分析到位，逐字逐句从不同角度辨析、分析。比如函数概念：设A、B两个非空（举出反例）数集，（与映射概念相区分，为以后学习三角函数解释为什么将角度转化为弧度制）如果按照某种确定（与相关关系相区分）的对应关系f，使对于集合A中任意一个元素x（举出反例）,在集合B中都有唯一确定的元素f(x)（举出反例）和它相对应，那么就称f:A B为集合A到集合B的一个函数，记为y=f(x) x
A
判断下列关系哪个是函数关系 举正确例子：(1)y=2x+1 (2)y=2x+1 x
｛1,2,3｝ （3）y=2t+1
(4) A B
举反例 A B 2 A B
1 求正切
3 y=
（定义域为空集）
概念辨析
1、下列图象中表示函数图象的是
A. 
B. 
C. 
D. 
2、下列对应关系中，不可以确定y是x的函数的是（ ）
A A=Z B=Z ,对应关系f:x y=
B A=｛X¦X>0｝ B=R 对应关系f:x y2=3X
C A=R B=R 对应关系f:x y2+X2=25
D A=R B=R 对应关系f:x y=X2
从不同表示形式全面理解函数概念，对概念进行深层次的挖掘，让学生把错误暴露出来一步步渗透理解。函数概念比较抽象不可能在一节课达到一定程度，函数思想贯穿整个高中学习。在学习函数的三要素，表示法，性质及以后的初等函数直至导数时还要对函数进行螺旋式上升的深层理解。通过具体的数学问题背景，让学生把每一个关键词，从不同形式全面理解基本概念，在解决数学问题过程中，加深对概念的认识和理解。
（三）适当的一题多解，可以让学生更好的理解知识本质及了解知识呈现方式，比如 ：若直线l：ax+by+1=0始终平分圆：x2+y2+4x+2y+1=0的周长，求（a-22+(b-2)2的最小值。
分析：直线平分圆即直线过圆心，得到2a+b-1=0，解法一，将原式看作二元一次方程，如果将问题写成2x+y-1=0求（x-2）2+(y-2)2 的最小值，这样学生就能直观地看出已知条件是直线 上的点，求直线上点（x,y ）与点(2,2)距离的平方的最小值，那么点到直线的距离的平方即为最小值。
=
,所以最小值为距离的平方5.直线方程本质即为二元一次方程，题目中可以将a,b看作两个变量，在教学中分析公式时我们要呈现给学生,只有学生对直线方程知识认识深刻，对两点距离公式结构熟悉，才能在题目中找到突破点，寻求到解题思路。
再比如 18年理科数学（20） 某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为
，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为
,求的最大值点
．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为
的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为
，求
;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【解析】分析：(1)利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得
，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意
的条件；
(2)先根据第一问的条件，确定出
，在解（i）的时候,先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望；在解（ii）的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果.
详解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为.因此
.
令
，得.当
时，
；当
时，
.
所以的最大值点为
.
（2）由（1）知，.
（i）令
表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知
，
，即
.
所以
.
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于
，故应该对余下的产品作检验.
对于这个函数 求最值，学生可能对函数形式不太熟悉，但是只要认识到函数的本质，只是自变量用p来表示，这个问题就应刃而解。
解法二，已知条件2x+y-1=0可以看作两个变量的关系式，（x-2）2+(y-2)2这个式子展开后是二次代数式，由2x+y-1=0，得到y=1-2x代入消元得到（x-2）2+(1-2x-2)2=5x2+5 (x∈R)所以得到二次函数，最小值是5。有些数学知识或公式，在题目中呈现的形式和平时的不太一样，所以在教学过程中，要分析知识的本质和公式的结构特点，学生能在“数学情景”中抽象出数学知识。
（四）把数学中的具有逻辑联系的基本知识或方法整合成单元或专题。比如在新教材第一册中，将指数函数，对数函数，三角函数中比较抽象的复合函数求值域,通过换元求值域组成一个专题，比如：
1、y=4x+2x+1 2、 y=(lgx+1)(lgx-2) 3、y=sin2x+cosx+1
4、y=sin(2x+
) x∈[--，
] 5、y=
6、y=lg( x2+x+1) 求值域.
解：1、令2x=t (t>0) y=t2+t+1 求出对称轴t0=
,图像开口向上，函数在（0，+
）单调递增，所以值域为（1，+）
2、令lgx=t 
R y= t2-t-2 求出对称轴t0=
，图像开口向上，对称轴处取得最小值，所以值域（
，+）
3、令cosx=t t∈[-1，1] y=-t2+t+2 ， 求出对称轴t0=，开口向下，对称轴处取得最大值，x=-1时取得最小值，所以值域为
4、令2x+=t∈[-，
] ， y=sint 根据正弦图像，所以值域为
5、令x2+x+1=t ∈[-
，+∞） y=2t 在定义域内单调递增，所以值域为 [
，+∞）
6、x2+x+1=t ∈[-，+∞] y=lgt 在定义域内单调递增，所以值域为 [
，+∞）
通过换元可以解决这一类题，将复杂的问题转化为我们所熟悉的简单问题，1、2、3题，转化为在某区间上，求二次函数值域，4、5、6 转化为基本初等函数，根据函数单调性，得到值域。让学生体会知识之间的联系性、整体性和数学思想方法的精髓，感受数学方法的优势，领悟数学思维的美 。通过专题强化不仅可以体会换元得思想方法，也有助于后期对复合函数概念及求导的理解。碎片化的数学内容，无法把数学的本质表述清楚，更无法体现数学学科核心素养。这样通过单元或者专题，把这些内容前后照应进行教学设计，就可以在关注知识与技能的同时，思考知识与技能所蕴含的数学本质体现的数学思想，最终实现学生形成和发展数学学科核心素养的目标。
把握数学本质，需要我们在每一节课一点一滴逐步渗透，在讲解分析时能列出适当的例题，让学生更直观的发现数学知识的本质发现知识统一性和联系性。学生对知识认识才能更加深刻，形成知识迁移，解决新的数学问题，培养学生的逻辑推理思维。 这也对老师的专业水平提出了更高的要求，需要老师有完整的数学知识网络，及知识的考查形式，还要把握高考的变化方向，了解社会发展对教育的影响。
参考文献
中华人民教育部 普通高中数学课程标准（2017年版）解读
志鸿优化系列丛书 高中同步测控优化设计
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