用导数解决含参函数的单调区间题型分类（数学）
用导数解决含参函数的单调区间题型分类（数学）
河北省石家庄市鹿泉区第一中学 康彦朋
函数的单调性是函数非常重要的一条性质，求函数的极值、最值、解决函数的零点问题都会涉及函数的单调性。在导数知识的考查中，讨论函数的单调区间是比较常见的题型，且学生在学习解一元二次不等式时，已经学习了含参二次不等式的解法。所以对于中等层次的学生来说有一定的学习基础，这一部分知识还是可以掌握的。
首先梳理一下利用导数研究函数的单调区间的步骤:
(1)确定
的定义域;
(2)求导函数
;
(3)
求方程根
(4)确定导函数的正负并指出函数的单调递增区间、递减区间.
下面对这一题型进行一下整理：
题型一 讨论是否有根
例1、设函数
讨论函数的单调性
分析：函数定义域为
，
分母
，所以只需判断分子的正负。在判断分子的正负之前先求
的根即
。因为
所以
时方程无解。 所以讨论和
。
解： 函数定义域为，
即
故当时，
无解，分母
，所以只需结合
图像，所以函数 在上单调递增；
当 
时 结合
的图像，所以函数在上单调递增；
当
时，
得
，因为
, 所以 
，结合
图像所以函数在
上单调递减．在
上单调递增；
综上，当
时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减．
例2、已知函数
，e=2.71828…是自然对数的底数，讨论函数的单调性
分析：
， 即
因为
所以只有
时方程 才有解，所以讨论, , 
解： 
， 即
当时, 
此时在
上单调递增
当时,
，恒成立，此时在上单调递增
当时， 
，解得
结合导函数图像 
，
，函数单调递减，当
，
，函数单调递增．
综上：①当
时，此时在（-∞，+∞）上单调递增
②当时，若，
，函数单调递减，当， 
，函数单调递增．
例3、已知函数
讨论的单调性
分析：求导得
求根之前先判断
有3种情况即导函数与x轴交点的不同情况，从而判断导数的正负。
解： 的定义域为R，，
①当
时，即
时，
∴在为增函数；
②当
，即
时，∴在
为增函数，
减函数，(
为增函数
综上：时，在为增函数
，在为增函数，减函 数，为增函数
题型二 
有根，讨论两根大小
例 已知函数
（a为常数，
)求函数的单调递增区间
分析：函数求导
通过十字相乘求出两根
。我们不能确定两根大小，所以需要讨论两根大小。然后根据导函数图像写出单调区间。
解： ， 
①当
时， 
，函数的单调递增区间为；
②当
时， 
，解
得，函数的单调递增区间为
，
；
③当
时， 
，解得
，函数的单调递增区间为
，
；
综上：当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为
，；
当时，函数的单调递增区间为
，
；
题型三 讨论根是否在定义域内
例 已知函数
．求函数的单调区间；
分析：∵
，定义域为
讨论a与定义域的关系
解： ∵ 
∴ 
，分母
所以根据
的图像定义域为
时 函数在单调递增
时 函数 在
上单调递减，在
上单调递增
时 函数在单调递增
综上： 时 函数 在
上单调递减，在上单调递增
时 函数在单调递增
题型四 讨论最高次系数
例 已知函数
（）．求的单调区间．
分析：求导通分得
（
）此时只需判断分子的正负，a是最高次系数,首先讨论,分子变为
，根据图像写出单调区间，
时，分子是二次函数所以需要讨论开口方向，同时时，又需要讨论与另一根2的大小关系
解： 
（）
（）
① 时 只需判断
在内正负，所以
为单调递增区间，
为单调递减区间。
②当
时，
，开口向下,所以在区间上， 
；在区间上 
，故的单调递增区间是，单调递减区间是．
③当
，
，在区间和
，上，
；
在区间
上 
，故
的单调递增区间是和，单调递减区间是．
③当
时，
，故
的单调递增区间是
．
④当
时，在区间
和上，
；在区间
上
，故的单调递增区间是和，单调递减区间是．
高考再现
（2018 全国卷I）已知函数
讨论
的单调性；
【答案】解：函数
的定义域为
，
可得：
设，
判别式
，
①当
时
，即
，即
恒成立，
此时函数
在上是减函数，
②当
或
，
有两解.令
得，
当
时两根均大于0
所以
在
上是减函数，在
上是增函数．
当
时，两根均小于0，结合g(x)图像
，
在上是减函数
综上：当
时，在上是减函数，
当
时，
在和上是减函数，在
上是增函数．
（2）略
本题考查了判断二次方程根的个数（题型一）和根与定义域关系（题型三）两个点，首先通过判别式是否有根进行分类，再在有根的条件下判断根是否在定义域内，本题的难点在于分析两个根的正负且两根之积为正。
（2017. 全国卷I）已知函数
（1）讨论
的单调性；
（2）若有两个零点，求a的取值范围.
解：（1）的定义域为
，
（i）若
，则
，函数
单调递减
（ii）若
，则由，得
，
当 
时，；当 
时，
；
所以在
单调递减 ， 在
单调递增。
（3）（i）
由（1）知，至多有一个零点
（ii）若，由（1）得，时，取得最小值，最小值为
①当
时，由于，
故只有一个零点
②当
时，由于
，即故没有零点
③当
时，
，即又
故
在
有一个零点
设正整数
满足
则
，由于
，因此在有一个零点。
综上，a的范围为
本题考查了
讨论a，即相当于讨论“最高次”即题型四
和
，时
讨论是否有根即题型一的例2.本题（2）的零点问题又是以（1）的讨论单调区间为前提，所以函数的单调性是研究函数的首要问题，涉及到函数的极值、最值、零点问题都得先研究函数的单调性。
以上是比较常见的几个讨论方向，且在学习其他知识时都涉及到此类讨论。在试题中可能考查一个讨论点或任意几个个讨论点结合。只要理解讨论的原因，掌握求单调区间的步骤。这一类题对于学生还是可以掌握的。重要的是通过训练可以培养学生的抽象思维能力及分析问题和解决问题的能力，渗透数形结合和分类讨论思想。通过解决问题的过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。
河北省石家庄市鹿泉区第一中学 康彦朋
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