反比例函数的教学设计

人教版26.1.1　反比例函数

   上庄镇中学                 王伟佳

一、课前系统部分

（一）课标分析

1．结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式．

2．能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式探索并理解和时，图象的变化情况．

3．能用反比例函数解决简单实际问题．

（二）教材分析

初中阶段从变量的角度研究函数，把函数定义为当一个量变化时，另一个量随这个量的变化而变化．函数定义突出了变化与对应思想，其内涵是：两个变量联系紧密，一个变量变化时另一个变量也发生变化；函数值与自变量之间单值对应，自变量的值确定后，函数值唯一确定．我们运用变量描述变化规律，认识函数是重要的数学模型．函数的内涵非常丰富，与数、式、方程等联系非常紧密，当我们从函数角度重新认识反比例关系时，这种反比例关系就是反比例函数，此时对反比例关系的认识进一步提高，增加了一种函数类型，从而对函数的认识进一步加深．

（三）学生分析

在每类函数的学习中，我们都是按照从特殊到一般，从具体到抽象的方式展开．学生在本节课之前，已经学习过“变量之间的关系”和“一次函数”二次函数等内容，对函数已有了初步的认识，对数学抽象也有进一步的理解。在此基础上讨论反比例函数可以进一步领悟函数的概念并积累研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的经验，为后继学习产生积极的影响。

(四)教学目标:

知识与技能：

　1.理解并掌握反比例函数定义.

　2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数.

　3.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式及自变量的取值范围.

过程与方法：

　1.让学生从实际问题情景中经历探索、分析和建立两个变量之间的反比例函数关系的过程.

　2.用类比的思想方法,从实际问题中抽象出反比例函数概念,发展学生的观察能力、探究能力及交流总结能力.

　3.经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.

情感态度与价值观：

　1.通过对一些实际问题的探究,发展学生合理的猜想、推理能力,增强他们学习数学的兴趣.

　2.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生应用数学的意识.

教学重难点：

　【重点】

　1.理解并掌握反比例函数的定义,掌握反比例函数的一般形式.

　2.能根据已知条件确定反比例函数的解析式.　　　　　　

　【难点】

　经历探索和表示反比例函数关系的过程,体验用反比例函数表示变量之间的关系.

二、课堂系统部分

教学过程：

导入一:

　【课件1】　同一条铁路线上,由于不同车次列车运行时间有长有短,所以它们的平均速度有快有慢.

　(1)如果速度v一定,那么路程s与时间t是什么关系?

　(s=vt,是正比例函数)

　(2)如果时间t一定,那么路程s与速度v又是什么关系呢?

　(s=vt,是正比例函数)

　(3)如果路程s一定,那么速度v和时间t又是什么关系呢?

　【思考】　以上关系是函数吗?这个函数是不是我们前边学过的函数?

　【导入语】　问题(1)(2)中的函数是一次函数(正比例函数),(3)中的函数不是前边学过的函数,这类函数就是本章要研究的反比例函数.

　[设计意图]　通过生活中的情景问题,引导学生发现不同于以往学过的新的函数关系,唤起学生对本课时的学习欲望,使学生带着问题进入新课的学习.

导入二:

　【课件2】　我们知道,导体中的电流I与导体的电阻R、导体两端的电压U之间满足关系式U=IR,当U=220 V时:

　(1)你能用含有R的代数式表示I吗?

　(2)利用写出的关系式完成下表:

　　当R越来越大时,I怎样变化?当R越来越小呢?

　(3)变量I是R的函数吗?为什么?

　[设计意图]　从学生身边的生活和已有知识出发,创设情景,目的是让学生感受到生活当中处处有数学,激发学生学习数学的兴趣和愿望,同时也为抽象出反比例函数概念做铺垫.同时,这个事例的引入也有助于学生从学科综合的角度进行学习.

导入三:

　【复习提问】　

　(1)什么是函数?什么是一次函数、二次函数?

　(2)一次函数、二次函数的学习过程是怎样的?

　【课件3】　出示以往研究函数的基本思路:

　【师生活动】　学生思考回答,教师点拨.

　[设计意图]　通过复习一次函数、二次函数的概念,让学生从已有的知识体系中自然地构建出新知识.回忆学习一次函数、二次函数的研究思路,引导学生用类比的方法学习本章的反比例函数,初步了解本章的基本内容和研究思路,为后续学习做好铺垫.

　探究一

　1.感知反比例函数

　【出示课件4】　

　(1)京沪线铁路全程为1463 km,某次列车的平均速度v(单位:km/h)随此次列车的全程运行时间t(单位:h)的变化而变化;

　(2)某住宅小区要种植一块面积为1000 m2的矩形草坪,草坪的长y(单位:m)随宽x(单位:m)的变化而变化;

　(3)已知北京市的总面积为1.68×104 km2,人均占有面积S(单位:km2/人)随全市总人口n(单位:人)的变化而变化.

　 教师引导学生针对上面三个事例思考:

　(1)每个事例中的两个变量是什么?

　(2)当一个量变化时,另一个量随着怎样变化?

　(3)有几个值与变化的量相对应?这种变化说明变量之间是什么关系?

　(4)题目中的等量关系是什么?如果是函数关系,其解析式是什么?

　(5)所列出的函数关系式有什么特点?

　[设计意图]　通过问题组的形式,引导学生发现这些变量之间的关系是一种函数关系,并且这种函数的解析式不同于以往的一次函数和二次函数,为进一步研究反比例函数做知识准备,同时激发学生学习的欲望,实现了让学生感知反比例函数的目的.

　【学生活动】　独立思考后,小组合作交流,确定三个问题中的变量关系都是函数关系,并列出具体的函数解析式.

　　2.反比例函数的概念

刚才同学们总结的函数关系式,既不是一次函数,也不是二次函数,接下来让我们一起研究这类函数的特征吧.

　观察前面的三个函数关系式,思考:

　(1)这三个函数是一次函数或二次函数吗?

　(2)这三个函数与前边学过的函数有什么不同?你能说出它们的共同特征吗?

　(3)通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗?

　(4)你能给这类函数下一个定义吗?

　【师生活动】　学生思考后,逐一回答所提问题,教师适时启发,共同归纳结论.

　教师引导学生从两个方面思考:与一次函数和二次函数的解析式对比;给出的三个函数关系式等号右面是整式还是分式;三个函数关系式中的k值有什么特点.

　【总结(出示课件5)】　

　一般地,形如y =   (k为常数,k≠0)的函数,叫做反比例函数,其中x是自变量,y是函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.

　思考:(1)你身边哪些量之间存在着反比例函数关系?

　(2)在反比例函数y = 中,k,x,y可以取任意实数吗?

　(3)反比例函数y = 中,自变量x的指数是1吗?为什么?

　(4)反比例函数除了这种分式的形式外,还有其他表示方法吗?

　【师生活动】　 学生独立思考后,小组交流,学生回答时教师及时点评和引导,师生共同归纳反比例函数概念的有关特点:

　反比例函数y =   等号右边是分式形式.

　反比例函数中,比例系数k≠0,自变量x≠0,函数值y≠0.

　反比例函数的三种表示形式:y =   ,xy = k, y =kx-1.

　[设计意图]　通过学生观察讨论,依据老师设计的问题串,类比已学函数,抽象出函数的本质特征,归纳出反比例函数的特征,学生经历概念的形成过程,从而达到真正理解定义的目的,同时培养学生归纳总结能力.

　探究二

　1.认识新的函数——反比例函数

　【出示课件6】　下列五个事例:

　(1)某住宅小区要种植一块面积为1000 m2的矩形草坪,草坪的长y(单位:m)与宽x(单位:m)有何关系?

　(2)物理学中电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR.当U=220 V时,R与I有何关系?当R=10 Ω时,I与U有何关系?

　(3)京沪线铁路全程为1463 km,某次列车的平均速度v(单位:km/h)与此次列车的全程运行时间t(单位:h)有何关系?

　(4)用10 m长的篱笆围成矩形的小花园.

　①如果花园的长为y m,宽为x m,那么y与x有何关系?

　②如果花园的长为x m,面积为y m2,那么y与x又有何关系?

　　教师引导学生针对上面五个事例思考:

　(1)每个事例中的两个变量是什么?

　(2)当一个量变化时,另一个量随着怎样变化?这种变化说明变量之间是什么关系?

　(3)题目中的等量关系是什么?如果是函数关系,其解析式是什么?

　(4)所列出的函数关系式有什么特点?

　[设计意图]　问题情景既有教材“思考”栏目的问题,又有新增设的跨学科的物理问题,这些事例都要求学生从实际问题中找到两个变量,确定函数解析式.使已学函数和要研究的新函数都呈现在学生面前,引发学生的认识冲突,为形成反比例函数概念、辨析反比例函数做好准备.

　【总结】　经过学生交流研讨,确认五个问题中的变量关系都是函数关系,并列出具体的函数解析式.

　3.例题讲解

我们通过实例归纳总结了反比例函数的概念,试试能不能解决下列问题.

　1、若y=(a-2)x|a|-3是反比例函数,则a的值为　　　　. 

　【师生活动】　学生独立思考后,小组交流答案,教师对学生的答案进行点评,并强调易错点.

　〔解析〕　根据反比例函数概念可得,反比例函数满足两个条件:(1)常数k≠0;(2)自变量x的指数为-1.由题意可得|a|-3=-1,且a-2≠0,解得a =-2.故填-2.

　[设计意图]　通过练习让学生进一步理解和掌握反比例函数的一般形式及特点,特别是忽略考虑k≠0这一易错点.

　2、已知y是x的反比例函数,并且当x=2时,y=6.

　(1)写出y关于x的函数解析式;

　(2)当x=4时,求y的值.

　【师生活动】　师生共同复习待定系数法求函数解析式,然后学生独立完成,并板书过程,学生之间互相纠正错误答案,教师点评,并归纳待定系数法求函数解析式的一般步骤.

　〔解析〕　类比一次函数、二次函数求解析式的方法——待定系数法,设出函数解析式,将一对x,y的值代入,求出待定系数k.

　解:(1)设所求函数解析式为y =

　因为当x=2时,y=6,所以有6=

　解得k=12.因此所求函数解析式为y=

　(2)把x=4代入y=   ,得:　y==3.

　[设计意图]　通过复习待定系数法,再次用这一方法求反比例函数解析式,并让学生体会反比例函数解析式中只有一个待定系数,所以代入一组值即可求出函数解析式.同时让学生体会建模思想在数学中的应用,提高学生的归纳能力.

　[知识拓展]　(1)反比例函数y=(k≠0)等号右边分式的分母不能是多项式,只能是x的一次单项式.(2)反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数,因此可以写成xy=k(k≠0),y=kx-1(k≠0)的形式.

课堂小结：

　1.反比例函数定义:形如y =    (k为常数,且k≠0)的函数叫做反比例函数.

　2.反比例函数满足的条件:

　(1)函数右边是分式形式;

　(2)自变量的指数是-1;

　(3)比例系数不为0.

　3.反比例函数的三种表示形式:y=    (k≠0);xy=k(k≠0);y=kx-1(k≠0).

　4.反比例函数自变量的取值范围:x≠0.

当堂小测

　1.下列函数中,是反比例函数的是　　(　　)

　A.y=2x+1　　B.y=0.75x

　C.y=　　D.xy=1

　解析:A中函数是一次函数;B中函数是正比例函数;C中函数右边分母不是x的单项式,所以A,B,C都不是反比例函数,只有D符合反比例函数定义.故选D.

　2.反比例函数y=(m+1)x-1中m的取值范围是　　(　　)

　A.m≠1　　B.m≠-1

　C.m≠±1　　D.全体实数

　解析:在反比例函数y=kx-1中,比例系数k≠0,所以m+1≠0,所以m≠-1.故选B.

　3.若函数y=x2m-1为反比例函数,则m的值是　　　　. 

　解析:根据反比例函数定义可得2m-1=-1,解得m=0.故填0.

　4.某蓄水池的排水管每小时排水8 m3,6 h可将满池水全部排空.

　(1)蓄水池的容积为　　　　; 

　(2)若每小时排水用Q(m3)表示,则排水时间t(h)与Q(m3)的函数解析式为　　　　. 

作业布置

【必做题】

　教材第3页练习第1,2题.

【选做题】

　教材第3页练习第3题.

三、课后系统部分——教学后记

                                                                         反思

　  函数是初中数学中重要的数学模型,我们学习一次函数、二次函数时,在理解定义的基础上,研究它们的图象和性质,并用之解决实际问题,本节用类似的方法研究一种新的函数——反比例函数.备课过程中，我认真研读教材，认为本节课重点难点就是掌握反比例函数的概念，以及如何与一次函数及一次函数中的正比例函数的区别。所以，我在讲授新课前安排了对函数、一次函数及正比例函数概念及一次函数和正比例函数一般式的复习。

本课时我精心设计了课程导入环节,顺利地把学生带入课时学习的情景之中,为学好本课时的内容做了很好的铺垫. 在教学设计思路上,不是把概念直接交给学生,而是让学生通过比较反比例函数与其他函数区别的基础上得出结论,这样既巩固了先前的知识,又很好地做到了知识的迁移和延伸.依托教材的素材对教材进行了开发,依据教材的情景,设计了对学生具有启发性和引导性的问题,精心设置了教材例题之外的例题,更好地为实现本节课的教学目标服务.

　在复习一次函数和二次函数等函数知识的时候,给学生的时间较少,部分同学还没有很好地回忆和总结先前的知识,这在一定程度上造成了学生理解知识存在衔接的困难.在讨论问题组的时候,让学生自我学习和交流做得不够深入,有些过早地把问题结论提示给学生,对学生的思维活动没有做到很好的引导.在习题处理环节上,第一个例题可以让学生通过交流合作去完成.

　 因为本课时的学习内容需要联系以往的函数知识,教师应该在课前让学生进行有针对性的复习.降低补充的两个例题的综合程度,把处理的重点放在巩固基础知识上,而不是强调对知识的综合练习.在明确了反比例函数的定义之后,建议学生利用函数解析式把不同的函数特点进行对比,这样更有利于学生对知识的掌握.

因备课充分，我信心十足，课堂上情绪饱满，学生们也受到我的影响，精神饱满，课堂气氛相对活跃。在复习“函数”这一概念的时候，很多学生显露出难色，显然不是忘记了就是不知到如何表达。

经验感想：

1、课前认真准备，对授课效果的影响是不容忽视的。

2、教师的精神状态直接影响学生的精神状态。

3、数学教学一定要重概念，抓本质。

4、课堂上要注重学生情感，表情，可适当调整教学深度。