深度学习背景下的教学设计案例《抛物线及其标准方程》教学设计

深度学习背景下的教学设计案例

《抛物线的定义和标准方程》

鹿泉一中   李会彦

一、教学目标：

根据课程标准的要求，本节教材的特点及所教学生的认知情况，把教学目标拟定如下：

知识目标：理解抛物线的定义；明确焦点、准线的概念；了解用抛物线的定义推导开口向右的抛物线的标准方程的推导过程进一步得出开口向左、向上、向下的抛物线的标准方程，并熟练掌握抛物线的四种标准方程及其所对应的开口方向、焦点坐标、准线方程之间的关系；

素养目标：让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系，培养学生类比、数形结合的数学思想方法，提高学生的学习能力，同时培养学生运动、变化的辨证唯物主义观点；

二、教学重点和难点：

重点：抛物线的定义；根据具体条件求出抛物线的标准方程；根据抛物线的标准方程求出焦点坐标、准线方程。

难点：抛物线的标准方程的推导及定义的应用。

关键：创设具体的抛物线的直观情景，结合建立坐标系的一般原则，从“对称美”和“简洁美”出发作必要的点拨。

三、教学过程：

1、情景引入：观察生活中的几个实例（幻灯片给出）

2、抛物线的定义：平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。

    探究：若定点F在定直线l 上，那么动点的轨迹是什么图形？

3、抛物线的标准方程（开口向右）的推导：

要把抛物线上的点Ｍ的集合P={M| |MF|=d}表示为集合Ｑ＝{(x,y)|f(x,y)=0}。首先要建立坐标系，为了使推导出的方程尽量简化，应如何选择坐标系？

２、开口向右的抛物线标准方程的推导：

过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与直线l 相交于点K，以线段ＫＦ的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系。

设焦点到准线的距离｜ＫＦ｜= p（p>0）那么，焦点Ｆ的坐标为

（p / 2,0）,准线l的方程为x = - p / 2.

设抛物线上的任一点 Ｍ（x,y），点Ｍ到直线l 的距离为d根据定义，抛物线就是点的集合

P={M| |MF|=d}

因为，，所以

           将上式两边平方并化简，得                     （1）

方程（１）的推导过程表明，抛物线上的点的坐标都是这个方程式的解。还可以证明，以方程（１）的解为坐标的点都在此抛物线上。我们把方程叫做抛物线的标准方程。

３、标准方程y² = 2px (p>0)的特点：（用代数方法——几何问题）

p的几何意义：焦点到准线的距离

焦  点：（p/2 ,0）在x轴的正半轴上

准  线：x = - p/2

顶  点：坐标原点（０，０）  开口方向：向右

4、让同学们类比写出不同位置的抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程

３、p值的意义：

（１）表示焦点到准线的距离；（２）p>0为常数;

（３）p值等于一次项系数绝对值的一半；

４、准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离等于一次项系数的绝对值的１／４，即2p/4=p/2.

3、例题讲解：

例1.(1)已知抛物线的标准方程是y² =6x,求它的焦点坐标和准线方程；

(2)已知抛物线的焦点是F(0,-2),求它的标准方程

      解：（1）p＝3，所以抛物线的焦点坐标是（3/2，0），准线方程是 x＝－3/2．

（2）因为抛物线的焦点在轴的负半轴上,且，所以抛物线的标准方程是

4、课堂练习：（课本P67）

1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：

（1）焦点是F（3，0）；（2）准线方程 是x = ；（3）焦点到准线的距离是2。

2、根据下列抛物线的焦点坐标和标准方程、准线方程：

（1）y ²=20x  (2)x ²=1/2y  (3) 2y ²+5x=0  (4) x ²+8y=0

总结：要确定抛物线的标准方程，关键在于确定p 值及抛物线开口方向；反之亦然。

5、知识应用：

M是抛物线y2 = 2px（p＞0）上一点，若点M 的横坐标为x0，则点M到焦点的距离是多少？                        

6、课堂小结：（提学生归纳总结）

1．抛物线的定义及注意事项；

2.四种形式的标准方程及对应图像；

3．会运用抛物线的定义、标准方程求它的焦点坐标、准线方程；

4．注重类比及数形结合的思想。

7、作业布置：课本  P73    1、2、3 、4、5