核心素养导向的教学设计案例——《排列》

核心素养导向的教学设计案例——《排列》

鹿泉一中 李会彦

一、教学目标

1.能利用排列和排列数公式解决简单的计数问题．

2.经历把简单的计数问题化为排列问题解决的过程，从中体会“化归”的数学思想．

3.能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题提升数学抽象思维能力和数学建模素养．

二、重点难点　　　　　

教学重点：利用排列和排列数公式解决简单的计数问题．

教学难点：利用排列和排列数公式解决简单的计数问题．

三、教学过程

温故知新

提出问题1：判断下列两个问题是不是排列问题，若是求出排列数，若不是，说明理由．

(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

活动设计：学生自己独立思考，教师提问．

活动成果：

解：(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：A＝5×4×3＝60，所以，共有60种不同的送法．

(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是：5×5×5＝125，所以，共有125种不同的送法．

本题中两个小题的区别在于：第(1)小题是从5本不同的书中选出3本分送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第(2)小题中，给每人的书均可以从5种不同的书中任选1种，各人得到哪种书相互之间没有联系，要用分步计数原理进行计算．

设计意图：引导学生通过具体实例回顾排列的概念和排列数公式．

提出问题2：请同学们再回顾一下排列的概念和排列数公式．

活动设计：学生一起回答，教师板书．

活动成果：

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

说明：(1)排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；

(2)两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同．

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示．

注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．所以符号A只表示排列数，而不表示具体的排列．

设计意图：复习排列概念和排列数公式，为本节课的学习奠定基础．

任务一：直接抽象为排列问题的计数问题

问题1某年全国足球甲级(A组)联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？

解：任意两队间进行1次主场比赛与1次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列．因此，比赛的总场次是A＝14×13＝182.

点评：要学会把具体问题抽象为从n个不同的元素中任取m(m≤n)个不同元素，按一定顺序排成一列的问题．

【巩固练习】

某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？

解：分3类：第一类用1面旗表示的信号有A种；

第二类用2面旗表示的信号有A种；

第三类用3面旗表示的信号有A种，

由分类加法计数原理，所求的信号种数是：A＋A＋A＝3＋3×2＋3×2×1＝15，

即一共可以表示15种不同的信号．

【变练演编】

将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？

分析：解决这个问题可以分为两步，第一步：把4位司机分配到四辆不同班次的公共汽车上，即从4个不同元素中取出4个元素排成一列，有A种方法；

第二步：把4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，也有A种方法．

利用分步乘法计数原理即得分配方案的种数．

解：由分步乘法计数原理，分配方案种数共有N＝A·A＝576.

即共有576种不同的分配方案．

 

任务二：有约束条件的排列问题(特殊位置分析法、特殊元素分析法)

问题1：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

思路分析：在本问题的0到9这10个数字中，因为0不能排在百位上，而其他数可以排在任意位置上，因此0是一个特殊的元素．一般的，我们可以从特殊元素的排列位置入手来考虑问题．

解法一：由于在没有重复数字的三位数中，百位上的数字不能是0，因此可以分两步完成排列．第1步，排百位上的数字，可以从1到9这九个数字中任选1个，有A种选法；第2步，排十位和个位上的数字，可以从余下的9个数字中任选2个，有A种选法(如图)．根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为A×A＝9×9×8＝648.

解法二：如图所示，符合条件的三位数可分成3类．每一位数字都不是0的三位数有A个，个位数字是0的三位数有A个，十位数字是0的三位数有A个．根据分类加法计数原理，符合条件的三位数的个数为A＋A＋A＝648.

解法三：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为A，其中0在百位上的排列数是A，它们的差就是用这10个数字组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求的三位数的个数是A－A＝10×9×8－9×8＝648.

点评：对于例2这类计数问题，可用适当的方法将问题分解，而且思考的角度不同，就可以有不同的解题方法．解法一根据百位数字不能是0的要求，分步完成选3个数组成没有重复数字的三位数这件事，依据的是分步乘法计数原理；解法二以0是否出现以及出现的位置为标准，分类完成这件事情，依据的是分类加法计数原理；解法三是一种逆向思考方法：先求出从10个不同数字中选3个不重复数字的排列数，然后从中减去百位是0的排列数(即不是三位数的个数)，就得到没有重复数字的三位数的个数．从上述问题的解答过程可以看到，引进排列的概念，以及推导求排列数的公式，可以更加简便、快捷地求解“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数”这类特殊的计数问题．

【巩固练习】

从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？

解法一：(从特殊位置考虑)AA＝136 080；

解法二：(从特殊元素考虑)若选：5·A；若不选：A，则共有5·A＋A＝136 080种；

解法三：(间接法)A－A＝136 080.

【变练演编】

A、B、C、D、E五个人排成一排照相，其中A、B不能排在两端，C不能排在中间，共有多少种不同的排法？

解法一：若A、B排在中间，则从A、B中选一个排在中间有A种排法，另一个不在两端的位置上有A种排法，其余三个人排在剩下的三个位置上有A种排法，根据分步乘法计数原理，共有AAA＝24种不同的排法．

若A、B不排在中间，则有A种排法，C不排在中间有A种排法，其余两个人排在剩下的两个位置上有A种排法，根据分步乘法计数原理，共有AAA＝8种不同的排法．

根据分类加法计数原理，共有24＋8＝32种不同的排法．

解法二：若C排在两端，有A种排法，另一端从D、E中选一个人，有A种排法，剩下三个人排在剩下的三个位置上有A种排法，根据分步乘法计数原理，共有AAA＝24种不同的排法．

若C不排在两端，有A种排法，两端排列D、E，有A种排法，剩下两个人排在剩下的两个位置上有A种排法，根据分步乘法计数原理，共有AAA＝8种不同的排法．

根据分类加法计数原理，共有24＋8＝32种不同的排法．

【达标检测】

1．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法(假定每股岔道只能停放1列火车)?

2．一部纪录影片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？

3．6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有 …(　　)

A．30种　　　　　B．360种　　　　　C．720种　　　　　D．1 440种

答案：1.A＝8×7×6×5＝1 680　2.A＝4×3×2×1＝24　3.C

1．知识收获：对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是“正面凑”，一个是“反过来剔”．前者指，按照要求，一点点选出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，选出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去．了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算．

2．方法收获：“化归”的数学思想方法．

3．思维收获：“化归”的数学思想方法．

【基础练习】

1．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有__________种不同的种植方法．

2．从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛，并排定他们的出场顺序，有__________种不同的方法．

3．信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信号有__________种．

4．由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有多少个？

答案：1.24　2.60　3.6

解答：4.解法一：(正向思维法)个位数上的数字排列数有A种(从2、4中选)；万位上的数字排列数有A种(5不能选)，十位、百位、千位上的排列数有A种，故符合题意的偶数有AAA＝36个．

解法二：(逆向思维法)由1、2、3、4、5组成无重复数字的5位数有A个，减去其中奇数的个数AA个，再减去偶数中大于50 000的数AA个，符合题意的偶数共有：A－AA－AA＝36个．

【拓展练习】

5．一天要排语、数、英、化、体、班会六节课，要求上午的四节课中，第一节不排体育课，数学排在上午；下午两节中有一节排班会课，问共有多少种不同的排法？

解答：若数学排在第一节，班会课的排法为A种，其余4节课的排法有A种，根据分步乘法计数原理，共有AA＝48种；若第一节课不排数学，第一节课的排法有A种，数学课的排法有A种，班会课的排法为A种，其余3节课的排法有A种，根据分步乘法计数原理，共有AAAA＝108种．

根据分类加法计数原理得，共有48＋108＝156种．

设计说明

本节课是排列的第二课时，本节课的主要目标是在老师的带领下，体会排列数公式的应用，体会把具体计数问题划归为排列问题的过程．本节课的设计特点是：教师的问题是主线，学生的探究活动是主体，师生合作，共同完成知识和方法的总结．

拓展资料

多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理．

例1(1)6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是(　　)

A．36种           B．120种        C．720种           D．1 440种

(2)把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为(　　)

A．AA                  B．AAAA

C．A                    D．AAA÷A

(3)8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？

解析：(1)前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共A＝720种排法，选C.

(2)答案：C

(3)看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有A种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有A种，其余5个元素任排在5个位置上有A种，故共有AAA＝5 760种排法．