一种特殊图形的应用（数学）
一种特殊的图形的应用
铜冶二中 邓延革
在义务教育课程标准实验教科书数学八年级上册教材中，学习三角形相关知识时涉及到这样一类图形，图形的特点为有一组对顶角的三角形，如果其中有第二组角相等，那么这组图形第三组内角对应相等，在八年级数学中经常利用对顶角来求角度的，所以它在八年级的应用十分广泛，而且也是十分重要的数学知识，所以我们给它一个很漂亮的名称蝴蝶图，蝴蝶图的实质是一组相似三角形，又因为我们八年级还没有学习相似三角形，所以今天我们现在以这样图形和相关题目为例来了解一下蝴蝶图的特性。下面我们来看一下这类题目。
【例题讲解】
例1、 在义务教育课程标准实验教科书数学八年级上册第151页，习题14.3第9题：如图1，△ABD、△AEC都是等边三角形，AE、BD相交与点G，①求证：BE=DC ②求∠DGB度数。
A
E G E
F
G
B C F A B
图1 图2
分析：①因为△ABD与△ACE都是等边三角形，所以AD=AB,AC=AE，又因为∠DAB=∠EAC=60°，∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC,所以△ADC≌△ABE，所以BE=DC。②如图设线段AB、CD交点为F，则△ADF与△GBF是一对蝴蝶图，因为△ADC≌△ABE（SAS），所以∠ADC=∠ABE，又因为∠DFA=∠BFG（对顶角相等），所以∠BGF=∠DAF=60°。
例2、如图2，在正方形ABCD中，E是AD中点，F是BA延长线上一点，AF=
分析：因为△ABE≌△ADF，所以BE=DF，又因为∠FDA=∠EBA，所以延长BE交DF与点G。图中的△DEG与△BEA为一组蝴蝶图，又因为对顶角∠DEG=∠AEB，所以根据三角形内角和
E
G D G
F A
1 2 1 2 3
B A E B C
图3 图4
例3、如图3，点A在BE上，AD=AE,AB=AC, ∠1=∠2=30°，则∠3的度数为 。
分析：①因为AD=AE,AB=AC, ∠1=∠2=30°，∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，∠BAD=∠CAE，所以△CAE≌△BAD，所以如图设线段BD、AC交点为F，线段CE与 BD相交于点G，则△ABF与△CGF是一对蝴蝶图，因为△CAE≌△BAD（SAS），所以∠C=∠B，又因为∠BFA=∠CFG（对顶角相等），所以∠CGF=∠BAF=30°，所以∠3=30°。
例4、如图4，△ABE与△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180度形成的，若∠1：∠2：∠3=5:28:3，则∠a度数为 。
分析：∠1+∠2+∠3=180°，∠1：∠2：∠3=5:28:3，所以∠1=25°，∠2=140°，∠3=15°。因为∠DAC=∠BAC=140°，所以∠DAE=360°-140°-140°=80°。因为△ABE与△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180度形成的，所以△ABE≌△ADC≌△BAC，所以∠D=∠EBA，如图设线段BE、AD相交于点F,线段CD与BE相交于点G，则△ABF与△GDF是一对蝴蝶图，∠AFB=∠DFG，所以∠DGF=∠BAF=80°。
这类图形栩栩如生，形象生动，活脱脱一只只翩翩飞舞的蝴蝶。例题中这四个题目，都用到形如图5-⑴、5-⑵、5-⑶这样的一些蝴蝶图，所以我们称之为蝴蝶图。他们的实质是一组相似三角形，在以后九年级的学习中我们还会学到，但是在八年级所涉及到某些特殊题目时，该图形的作用是不容忽视的。同学们在学习中掌握了这一类图形，可以解决很多实际问题。
图5-⑴ 图5-⑵ 图5-⑶
【同类训练】
1、 如图6所示，已知△ABC≌△ADE，∠CAD=10°,,∠EAB=120°,求∠BAC和∠DGB的度数（提示：△ABF与△GDF是一对蝴蝶图）
2、 如图7，AD为△ABC高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC,FD=CD,求证：BE⊥AC。
（提示：△AEF与△BDF是一对蝴蝶图）
G F
E F
C
A B B D C
图6 图7
3、 如图8，△ABC中，A D⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F, 若BF=AC，求∠ABC的度数。（提示：△AEF与△BDF是一对蝴蝶图）
4、 如图9，在直角三角形ABC中，CE⊥AB于点E,AD=AC,AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G，求证：DF∥BC。（提示：△ CGF与△DEF是一对蝴蝶图）
E E
F G D
F
B D C C B
图8 图9
答案及详解：
1、因为△ABC≌△ADE，所以∠BAC=∠DAE,又因为∠BAC+∠DAE+∠DAC=∠EAB, ∠BAC+∠DAE+10°=∠EAB=120°,所以∠BAC=55°。又因为△ABC≌△ADE，所以∠B=∠D，在△ABF与△GDF中，∠B=∠D, ∠AFB=∠GFD,所以∠DGF=∠FAB,△ABF与△GDF是一对蝴蝶图,所以∠FAB=∠BAC=55°+10°=65°，答：∠BAC=55°，∠DGB=65°
2、在△ADC与△BDF中，因为BF=AC,FD=CD，∠BDA=∠ADC,所以△ADC≌△BDF,所以∠DBA=∠DAC,所以在△AEF与△BDF中，∠DBA=∠DAC，∠AFE=∠BFD,所以，∠AEF=∠BDF=90°，所以BE⊥AC。
3、△ABC中，因为A D⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F,所以∠ADC=∠BDF=90°，在△BDF与△AEF中，∠AEF=∠BDF=90°, ∠AFE=∠BFD,所以∠DAC=∠DBF, △BDF与△AEF是一对蝴蝶图。又因为BF=AC,所以△ADC≌△BDF,AD=BD,在直角△ABD中，AD=BD,所以∠ABD=∠BAD F=45°。
4、在直角三角形ABC中，因为AF平分∠CAB交CE于点F ，所以∠CAF=∠DAF,又AC=AD,AF=AF,所以△ACF≌△ADF,所以∠ACF=∠ADF,在△CFG与△DFE中，∠ACF=∠ADF，∠CFG=∠DFE,所以∠CGF=∠DEF=90°。因为∠CGF=∠ACB=90°，DF∥BC。
|
|
|
|
|
